Найти общее решение дифференциального уравнения: y''(1+sinx)-1=0

Question 1

Найти общее решение дифференциального уравнения:
y''(1+sinx)-1=0

Question 2

$y''(1+\sin x)-1=0\\ \\ y''= \frac{1}{1+\sin x}$

Проинтегрируем обе части уравнения

$y'= \int\limits {\frac{1}{1+\sin x} } \, dx$

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Пусть $u=tg \frac{x}{2}$ , тогда $\sin x= \frac{2u}{u^2+1};\,\,\,\, \cos x= \frac{1-u^2}{1+u^2}$

Будем иметь

$\displaystyle \int\limits \frac{2du}{u^2+2u+1} = \int\limits\frac{2du}{(u+1)^2} =- \frac{2}{u+1} +C_1=- \frac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1$

$y'=- \dfrac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1$

Интегрируя снова, получаем

$\displaystyle y= \int\limits\bigg(- \frac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1\bigg)dx$

Решим интегральчик сначала)

$\displaystyle - \int\limits \frac{2dx}{tg\frac{x}{2}+1}=\bigg\{v=tg \frac{x}{2} \bigg\}=-4 \int\limit \frac{dv}{(v+1)(v^2+1)} =\\ \\ \\ =-2 \int\limits \frac{1-v}{v^2+1}dv -2 \int\limits \frac{1}{v+1} dv=-2arctg v+\ln|v^2+1|-2\ln|v+1|+C=\\\\ \\ =-x-2\ln|tg \frac{x}{2} +1|+\ln \frac{1}{\cos^2x} +C$

Общее решение:

$\boxed{y=-x-2\ln|tg \frac{x}{2} +1|+\ln \frac{1}{\cos^2x} +C_1x+C_2}$