Целые числа a, b, c таковы, что ab + bc + ca = 0. Докажите, что число abc можно...

Question

Целые числа a, b, c таковы, что ab + bc + ca = 0. Докажите, что число abc можно представить в виде произведения квадрата целого числа на куб целого числа.

Answer 1

Возьмём какое-нибудь простое число m такое, что  является делителем числа c. Простые числа - это числа, у которых делитель 1 и они сами. 
Перепишем наше равенство
 
Отсюда следует, что так как c делится на , то и какое-либо число слева от знака равенства(a или b) должно делиться на , а другое на делиться на m. Отсюда у числа abc возникает делитель , то есть квадрат целого числа. Если мы будем аналогично рассуждать про каждое число, то мы увидим, что полученное число m будет входить всегда в четной степени. То есть мы получим: , аналогично для новых чисел , если они будут иметь общий делитель, то он войдёт в произведение в кубе.