Геометрия: 1/3 , 1/2 , 2/5 , 2/3 , 5/7 найдите формулу n-ного члена(буду очень блогодарен)

Можно заметить что , если обозначить $n=1$ , то получим такой ряд
$\frac{n}{n+2} ; \frac{n}{n+1} ; \frac{n+2}{n+4} ; \frac{n+1}{n+2} ; \frac{n+4}{n+6}\\ \\$
Обозначим первый член соответственно
$a_{n}=\frac{n}{n+2} ;\\a_{n+1}= \frac{n}{n+1} ;\\a_{n+2}= \frac{n+2}{n+4} ;\\a_{n+3}= \frac{n+1}{n+2} ; \\a_{n+4}=\frac{n+4}{n+6}$

Если теперь отними каждой с каждого
$a_{n+1}-a_{n} = \frac{n}{(n+1)(n+2)};\\ a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{2-n}{(n+1)(n+4)};\\ a_{n+3}-a_{n+2}=\frac{n}{(n+2)(n+4)};\\ a_{n+4}-a_{n+3}=\frac{2-n}{(n+2)(n+6)}$
Выражая с него $a_{n+1}$
$a_{n+1} = \frac{n}{(n+1)(n+2)}+\frac{n}{n+2}=\frac{n}{n+1}\\ a_{n+2}=\frac{2-n}{(n+1)(n+4)}+\frac{n}{n+1}=\frac{n+2}{n+4}\\ ....$
можно заметит что ряд будет представим в виде
$a_{n}=\frac{n}{n+2}$