Жгуч, потому что слово "жгуч*" отвечает на вопрос "каков?" и заканчивается на шипяшую "ч".
Если вспомнить правило русского языка, которое гласит, что краткие прилагательные, имеющие в основе слова шипящую букву, пишутся БЕЗ мягкого знака, станет очевидным, что в данном слове при письме он отсутствует.