Часы-будильник испортились\испортился вчера.
часы-будильник испортились
так как слово "испортились" больше относится к "часы" чем к "будильник", ведь то что часы "будильник" это уточнение и более подробное описание часов.
так что, "часы-будильник испортились"
испортились. потому что часы множественное число