Изначально река называлась Везеницей. Везёлка — более позднее искажение. Оно связано со стремлением устного языка к унификации. Многие притоки Днепра и Дона пишутся через ел-ол. Например: Ворскол стала Ворскла, известны также Топлинка, Хорол, Псел.
Значение слова Везеница известно.Еще давно были «рукавицы с везеницами». Вообще сама река Везенка дословно «река-переносчик», река-перевозчик.