Что значит оставить имя после себя?
Это когда тебя помнят за твой поступок,или за ещё что либо.Например многие музыканты,писатели,исполнители,художники,актеры,певцы оставили после себя имя.Имя можно оставить за то,что ты сделал: спас кого-то,сделал что-то,что запомнится на века.
Критерии сочинения не описывались,поэтому как то так.