Часть речи
Часть речи слова развлечь — глагол.
Морфологические признаки
Начальная форма: развлечь (инфинитив);
Постоянные признаки: 1-е спряжение, переходный, совершенный вид;
Непостоянные признаки: изъявительное наклонение.
Синтаксическая роль
Может быть различным членом предложения, смотрите по контексту.