Может ли фраза и снилось мне быть грамматической основой?
нет!!! снилось -что? а кому -мне
должно быть подлежащее в им.пад.или личные мест. в ед.ч.,так как есть только сказуемое,но нет подлежащего,то нельзя считать грам.основой; можно считать односоставным предложением